高中数学中的点乘公式汇总

【来源：易教网 更新时间：2025-12-12】

咱先来说说啥是向量的点乘，想象一下，在一个平面直角坐标系里，有两个向量，比如说向量A = (a1, a2)，向量B = (b1, b2)，那这两个向量的点乘咋算呢？

就是把对应坐标相乘再加起来，也就是a1 * b1 + a2 * b2，得到的这个结果就是一个数啦，比如说向量A = (3, 4)，向量B = (2, 1)，那它们的点乘就是3 * 2 + 4 * 1 = 6 + 4 = 10。

这里要注意哦，点乘的结果是一个标量，不是向量，就好比你去超市买东西，你买了苹果和橙子，最后结账的时候，收银员告诉你一共多少钱，这个钱数就是一个标量，它不能像苹果和橙子那样有方向呀。

1. 二维向量的点乘公式

前面咱们已经简单提了一下二维向量的点乘，这里再详细说说，对于两个二维向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的点乘公式就是A·B = x1x2 + y1y2，这个公式在很多几何问题里可好用了，比如说，已知两个向量垂直，那它们点乘的结果就是0；

如果两个向量同向或者反向，那点乘的结果就能反映它们之间的一些关系。

举个例子哈，假如有两个向量A(1, 2)和B(-2, 1)，咱们一算点乘，1 * (-2) + 2 * 1 = -2 + 2 = 0，这就说明这两个向量是垂直的，你看，通过这个点乘公式，一下子就能判断出向量的位置关系，是不是很神奇？

2. 三维向量的点乘公式

三维向量呢，就是在二维的基础上又多了一个坐标，对于两个三维向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，点乘公式就是A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2，这个在立体几何里经常用到，比如求两个向量的夹角，就可以用到这个点乘公式。

假设有两个空间向量A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，它们的点乘就是1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 4 + 10 + 18 = 32，然后根据点乘公式还能算出它们夹角的余弦值，进一步得到夹角，这在解决空间几何问题的时候，可帮了不少忙呢。

1. 交换律

点乘满足交换律，啥意思呢？

就是说A·B = B·A，不管两个向量谁在前谁在后，点乘的结果都是一样的，就好比两个人握手，不管是谁先伸手，握完手的效果是一样的，比如说向量A(2, 3)和向量B(4, 5)，2 * 4 + 3 * 5 = 8 + 15 = 23，反过来4 * 2 + 5 * 3也是23。

2. 结合律

点乘还满足结合律哦，不过要注意是和标量的结合律，比如说有个标量k，那么k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，这就好比你分一堆糖果，不管你先把糖果分成几份再给小朋友，还是先给每个小朋友分一份再合起来，总数都是一样的，比如k = 3，向量A(1, 2)和向量B(3, 4)，先算A·B = 1 * 3 + 2 * 4 = 3 + 8 = 11，那3(A·B) = 3 * 11 = 33；

再看看(kA)·B，kA = (3 * 1, 3 * 2) = (3, 6)，(3, 6)·(3, 4) = 3 * 3 + 6 * 4 = 9 + 24 = 33，结果一样吧。

3. 分配律

点乘也有分配律，就是A·(B + C) = A·B + A·C，这就好像你买东西，买一个书包和一个文具盒的总价，等于书包的价格加上文具盒的价格，比如向量A(1, 2)，向量B(3, 4)，向量C(5, 6)，先算B + C = (3 + 5, 4 + 6) = (8, 10)，那A·(B + C) = 1 * 8 + 2 * 10 = 8 + 20 = 28；

再看看A·B + A·C，A·B = 1 * 3 + 2 * 4 = 3 + 8 = 11，A·C = 1 * 5 + 2 * 6 = 5 + 12 = 17，11 + 17 = 28，结果也是一样的。

1. 求向量的模长

向量的模长可以用点乘公式来求哦，对于向量A(x, y)，它的模长|A| = √(x + y)，其实这就是把向量和自己点乘，然后开根号，比如说向量A(3, 4)，|A| = √(3 + 4) = √(9 + 16) = √25 = 5，这个模长在物理上也有意义，比如说表示位移的大小、速度的大小等等。

2. 求向量的投影

向量的投影也离不开点乘公式，向量A在向量B上的投影公式是：|A|cosθ = (A·B) / |B|，是两个向量的夹角，比如说有个力F作用在一个物体上，我们想知道这个力在物体运动方向上的效果，那就要用到向量的投影，假设力F(3, 4)，物体运动方向的向量B(1, 0)，先算点乘F·B = 3 * 1 + 4 * 0 = 3，再算|B| = √(1 + 0) = 1，那力F在物体运动方向上的投影就是3 / 1 = 3，这个投影就表示力在运动方向上的有效大小。

很多小伙伴觉得点乘公式不好记，其实啊，有一些小窍门，要理解点乘的概念，知道它是对应坐标相乘再相加，多做一些练习题，从简单的开始，慢慢熟悉公式的用法，还可以自己推导一下公式，这样记忆会更深刻，就像学骑自行车，光听别人说怎么骑是没用的，得自己上去练练，才能掌握其中的诀窍。

学好点乘公式对咱们高中数学的学习可太重要啦，它能帮助我们解决很多几何和代数的问题，而且在物理、计算机图形学等其他学科里也有很多应用，比如说在物理里，计算功就需要用到力和位移的点乘，所以啊，大家一定要把点乘公式学好，这可是打开数学和其他学科大门的一把钥匙呢。

呢，高中数学里的点乘公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们好好理解、多做练习，就一定能掌握它，大家在学习的过程中要是遇到啥不懂的，千万别着急，多问问老师和同学，相信只要坚持下去，大家都能在数学的学习上取得好成绩！